힐베르트공간 위의 작용소들의 집합은 몇 가지 특수한 구조들을 가지고 있습니다.
가장 널리 연구된 두 가지 특별한 종류의 작용소대수가 있습니다.
역사적으로 무한차원벡터공간이 연구되기 시작한 이유는 함수들의 공간을 연구하기 위함이었습니다. 무한차원벡터공간 그 자체는 기저의 농도로 완전히 분류되기 때문에 대수적으로 큰 의미를 갖기 어렵습니다.
함수해석학에서 처음 배우게 되는 대상이 힐베르트공간이나 바나흐공간과 같은 무한차원벡터공간이라면 작용소대수라는 분야는 무한차원벡터공간에 곱연산도 추가한 무한차원대수, 즉 위상대수를 다룹니다.
여러 위상대수들 중, 어떤 힐베르트공간에 작용하는 유계작용소들의 집합 $B(H)$의 부분집합과 동형인, 다른 말로 $B(H)$에 매장될 수 있는 위상대수를 작용소대수라고 부를 수 있을 것입니다. 바로 힐베르트공간에 작용하는 작용소들의
응용으로서의 스펙트럼 정리
순수상태와 혼합상태
$K(H)$의 상태 또는 $B(H)$의 정규상태(normal state) 순수상태는 $H$의 일차원부분공간들, 혹은 스칼라곱을 무시한 단위벡터들에 일대일 대응됩니다.
겔판트-나이마르크-시걸구성은 작용소대수에 주어진 임의의 상태를 벡터상태로 나타내는 표현을 만들어내는 아이디어입니다.
$C_0(S)$의 상태는 정칙(regular)보렐확률측도에 일대일 대응됩니다.